2017 FKMO #6

2018년 4월 11일 에 작성됨 FKMO(2017)

0 2018년 4월 11일

총 $2017$개의 상자가 원형으로 놓여 있는 방이 있다. 어떤 상자의 집합이 어울린다라는 말은 그 집합에 속한 상자의 수가 $2$개 이상이며 그 집합에 속한 각 상자에서 시계 방향으로 이동할 때 그 집합에 속한 다음 상자를 처음으로 만날 때까지 넘어야 하는 상자의 개수가 $0$ 또는 홀수임을 뜻한다. $30$명의 학생이 차례로 그 방에 입장하며 자기가 고른 상자들의 집합이 어울리도록 여러 상자를 고른 후, 고른 상자마다 자기 이름이 적힌 쪽지를 하나씩 넣는다. 들어 있는 쪽지의 개수가 $30$개인 상자 전체의 집합이 어울리지 않는 경우 다음 두 성질을 모두 만족하는 학생 $A,B$와 상자 $a,b$가 존재함을 보여라.

(i) $A$는 $a$를 고르고 $b$를 고르지 않았으며 $B$는 $b$를 고르고 $a$를 고르지 않았다.

(ii) $a$에서 시계 방향으로 $b$까지 이동하는 사이에 넘게 되는 $a,b$가 아닌 상자의 개수는 홀수가 아니며, 이러한 각 상자는 $A$와 $B$ 중 누구도 고른 적이 없다.

 
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