2017 FKMO #4

2018년 4월 11일 에 작성됨 FKMO(2017)

0 2018년 4월 11일

정수 $n\ge 2$에 대하여 $a_1 ,a_2 ,\cdots ,a_n $을 다음과 같이 정의하자.

$a_1 =\frac{n(n-1)(2n+1)}{3}$,

$a_k=\frac{(n+k-1)(n-k+1)}{2(k-1)(2k+1)}a_{k-1} \ \ (k=2,3,\cdots ,n)$

(a) $a_1 ,a_2 ,\cdots, a_n $은 모두 정수임을 보여라.

(b) $a_1 ,a_2 ,\cdots, a_n $ 중 $2n-1$의 배수가 아닌 것이 하나 뿐이고, $2n+1$의 배수가 아닌 것도 하나 뿐인 것이 $2n-1$과 $2n+1$이 모두 소수일 필요충분조건임을 보여라.

 
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