2017 FKMO #3

2018년 4월 11일 에 작성됨 FKMO(2017)

0 2018년 4월 11일

양의 정수 $n$에 대하여 $c_n =2017^n $이라 하자. 함수 $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$이 다음 두 조건

(i) 모든 양의 정수 $m,n$에 대하여 $f(m+n) \le 2017\cdot f(m) \cdot f(n+325)$,

(ii) 모든 양의 정수 $n$에 대하여 $0<f(c_{n+1}) <f(c_n )^{2017}$

을 모두 만족한다. 이 때, 다음을 만족하는 수열 $a_1 ,a_2 ,\cdots$이 존재함을 보여라.

부등식 $a_k <n$을 만족하는 모든 양의 정수 $n,k$에 대하여 $f(n)^{c_k}<f(c_k )^n$이다.

단, $\mathbb{N}$은 양의 정수 전체의 집합이며, $\mathbb{R}$은 실수 전체의 집합이다.

 
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