• KMO 고등 2차 2016 #8

    집합 $\{ 0,1,2,\cdots ,2000 \} $의 부분집합 $S$가 $401$개의 원소를 가지면 다음 성질을 만족함을 보여라.

    $x$와 $x+n$이 모두 $S$에 속하는 $x$가 $70$개 이상 존재하는 양의 정수 $n$이 있다.

  • KMO 고등 2차 2016 #7

    서로 다른 홀수인 소수 $p_1 ,p_2 ,\cdots ,p_k $와 음이 아닌 정수 $a, b_1 ,b_2 ,\cdots ,b_k$에 대하여 $N=2^{a}p_1^{b_1}p_2^{b_2}\cdots p_k ^{b_k}$라 하자. 다음 조건을 만족하는 양의 정수 $n$의 개수는 $(b_1 +1)(b_2 +1)\cdots (b_k +1)$임을 보여라.

    $\frac{n(n+1)}{2}\le N$이고, $\left( N-\frac{n(n+1)}{2} \right) $은 $n$의 배수이다.

  • KMO 고등 2차 2016 #6

    양의 정수 $n$에 대하여 $n$개의 양의 실수 $a_1 ,a_2 ,\cdots ,a_n $이 $a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_n $을 만족한다. 임의의 $n$개의 양의 실수 $b_1 ,b_2 ,\cdots ,b_n $에 대하여 다음 부등식이 항상 성립함을 보여라.

    $\frac{a_1b_1+a_2b_2 + \cdots +a_nb_n}{a_1+a_2+ \cdots a_n} \le \text{max}\{ \frac{b_1}{1}, \frac{b_1+b_2}{2}, \cdots, \frac{b_1+b_2+ \cdots +b_n}{n} \}$

    (단, $\max \{ x_1 ,x_2 ,\cdots ,x_n \} $은 $x_1 ,x_2, \cdots, x_n $ 중 가장 큰 값)

  • KMO 고등 2차 2016 #5

    이등변삼각형이 아닌 삼각형 $ABC$의 내심을 $I$라 하고, 삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $BC, CA, AB$와 접하는 점을 각각 $D, E, F$라 하자. 직선 $EF$가 삼각형 $CEI$의 외접원과 만나는 점을 $P(\neq E)$라 할 때, 삼각형 $ABC$의 넓이는 삼각형 $ABP$의 넓이의 $2$배임을 보여라.

  • KMO 고등 2차 2016 #4

    양의 정수 $n$에 대하여 집합 $S_n$은 다음 두 조건을 모두 만족하는 양의 정수쌍 $(a_1 ,a_2 ,\cdots ,a_n )$의 집합이다.

    조건 1: $a_1 =1$

    조건 2: 모든 $i=1,2, \cdots ,n-1$에 대하여 $a_{i+1} \le a_i +1$

    양의 정수 $k(\le n)$에 대하여 집합 $S_n$의 원소 $(a_1 ,a_2 , \cdots , a_n )$ 중 $a_k =1 ,a_{k+1}=2$인 것의 개수를 $N_k$라 할 때, $N_1 +N_2 +\cdots +N_{n-1}$의 값을 구하여라.

  • KMO 고등 2차 2016 #3

    넓이가 $S$이고 둘레의 길이가 $L$인 예각삼각형 $ABC$ 내부의 점 $P$에서 변 $BC, CA, AB$에 내린 수선의 길이가 각각 $1, 1.5, 2$라 하자. 변 $BC$와 직선 $AP$가 만나는 점을 $D$, 변 $CA$와 직선 $BP$가 만나는 점을 $E$, 변 $AB$와 직선 $CP$가 만나는 점을 $F$라 하고, 삼각형 $DEF$의 넓이를 $T$라 하자. 다음 부등식이 성립함을 보여라.

    $\left( \frac{AD \cdot BE \cdot CF}{T} \right)^2 > 4L^2 + \left( \frac{AB \cdot BC \cdot CA}{24S} \right)^2$

  • KMO 고등 2차 2016 #2

    이등변삼각형이 아닌 $ABC$의 내접원이 변 $BC, CA, AB$와 접하는 점을 각각 $D, E, F$라 하고, 내심을 $I$라 하자. 직선 $AD$와 내접원의 교점을 $G(\neq D)$라 하고, 점 $G$에서의 내접원의 접선이 변 $AC$와 만나는 점을 $H$라 하고, 직선 $IH$와 $AD$의 교점을 $K$라 하자. 점 $I$에서 직선 $AD$에 내린 수선의 발을 $L$이라 할 때, $\overline{IE}\cdot \overline{IK}=\overline{IC}\cdot \overline{IL}$임을 보여라.

  • KMO 고등 2차 2016 #1

    양의 정수 $n$에 대하여 방정식

    $x^2 +2016y^2 =2017^n $

    을 만족하는 정수의 순서쌍 $(x,y)$의 개수를 $n$에 대한 식으로 나타내어라.

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