• KMO 고등 2차 2015 #8

    양의 정수 $n$에 대하여, $a_1 ,a_2 ,\cdots ,a_k$는 $n$ 이하의 양의 정수 중 $n$과 서로소인 수를 모두 한 번씩 나열한 것이다. $k>8$일 때, 다음을 보여라.

    $\sum_{i=1}^k \left| a_i -\frac{n}{2} \right| <\frac{n(k-4)}{2}$

  • KMO 고등 2차 2015 #7

    양의 정수 $n$이 주어져 있다. 다음 두 조건을 모두 만족하는 $m$개의 집합 $F_1 ,F_2 ,\cdots ,F_m$이 존재하면 $m\le n$임을 보여라. (단, 집합 $A,B$에 대하여 $|A|$는 $A$의 원소의 개수이고, $A-B$는 $A$의 원소 중 $B$의 원소가 아닌 것의 집합이다. 실수 $x,y$에 대하여 $\min(x,y)$는 $x$와 $y$ 중 크지 않은 값이다.)

    조건 1: 모든 $1 \le i \le m$에 대하여 $F_i \subseteq \{1,2,\cdots ,n \}$

    조건 2: 모든 $1 \le i<j \le m$에 대하여 $\min(|F_i -F_j |, |F_j -F_i |)=1$

  • KMO 고등 2차 2015 #6

    원 $\omega$에 내접하는 등변사다리꼴 $ABCD$가 $AB=CD$, $AD<BC$, $AD<CD$를 만족한다. 중심이 $D$이고 점 $A$를 지나는 원이 선분 $BD$, 선분 $CD$, 원 $\omega$와 각각 점 $E$, 점$F$, 점$P(\neq A)$에서 만난다고 하자. 직선 $AP$와 직선 $EF$의 교점을 $Q$라 하고, 원 $\omega$가 직선 $CQ$, 삼각형 $BEQ$의 외접원과 만나는 점을 각각 $R(\neq C)$, $S(\neq B)$라 하자. $\angle BER = \angle FSC$임을 보여라.

  • KMO 고등 2차 2015 #5

    모든 실수 $x,y,z$에 대하여 다음 식을 만족하는 함수 $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$을 모두 구하여라.  (단, $\mathbb{R}$은 실수 전체의 집합)

    $(f(x)+1)(f(y)+f(z))=f(xy+z)+f(xz-y)$

  • KMO 고등 2차 2015 #4

    양의 정수 $n,k,l$에 대하여, 다음 네 조건을 모두 만족하는 양의 정수의 순서쌍 $(a_1 ,a_2 ,\cdots ,a_l )$의 개수를 $Q(n,k,l)$라고 하자.

    조건 1. $n=a_1 +a_2 +\cdots +a_l$

    조건 2. $a_1 >a_2 >\cdots >a_l >0$

    조건 3. $a_l$은 홀수

    조건 4. $a_i $ 중 홀수의 개수가 정확히 $k$개

    예를 들어, $9=8+1=6+3=6+2+1$이므로 $Q(9,1,1)=1$, $Q(9,1,2)=2$, $Q(9,1,3)=1$이다. $n>k^2$이면 $\sum_{l=1}^n Q(n,k,l)$가 $0$ 또는 짝수임을 보여라.

  • KMO 고등 2차 2015 #3

    실수 $a,b,c,x,y$가 $a^2 +b^2 +c^2 +x^2 +y^2 =1$을 만족할 때,

    $(ax+by)^2 +(bx+cy)^2 $

    의 최댓값을 구하여라.

  • KMO 고등 2차 2015 #2

    삼각형 $ABC$의 외접원을 $\omega$라 하자. 점 $D$는 선분 $BC$ 위에 있고, 점 $E$는 선분 $AD$ 위에 있다. 반직선 $AD$와 원 $\omega$의 교점을 $F$라 하자. 원 $\omega$의 점 $M$은 호 $AF$를 이등분하는 점으로서, 선분 $AF$에 대하여 $C$의 반대쪽에 있다. 반직선 $ME$와 원 $\omega$의 교점을 $G$, 반직선 $GD$와 원 $\omega$의 교점을 $H$, 반직선 $MH$와 반직선 $AD$의 교점을 $K$라 할 때, 네 점 $B,E,C,K$가 한 원 위에 있음을 보여라.

  • KMO 고등 2차 2015 #1

    양의 정수 $m$에 대하여, 다음 두 조건을 모두 만족하는 양의 정수의 순서쌍 $(x, y)$의 개수가 $0$ 또는 짝수임을 보여라.

    조건 1. $x^2 -3y^2 +2=16m$

    조건 2: $2y \le x-1$

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