• KMO 고등 2차 2014 #8

    다음 조건을 모두 만족하는 함수 $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$이 존재함을 보여라. 단 $\mathbb{N}$은 양의 정수 전체의 집합이다.

    조건 1. $\{ f(n) : n\in \mathbb{N}\}$은 유한집합이다.

    조건 2. $0$이 아닌 정수 $x_1 ,x_2 , \cdots ,x_{1000}$이 $f(|x_1|)=f(|x_2 |) =\cdots =f(|x_{1000}|)$을 만족하면

    $x_1 +2x_2 +2^2x_3 +2^3 x_4 +2^4 x_5 +\cdots +2^{999} x_{1000}\neq 0$

    이다.

  • KMO 고등 2차 2014 #7

    다음 조건을 모두 만족하는 실수 $x,y,z$에 대하여 $x^4 +y^4 +z^4$의 최솟값을 구하여라.

    $(x-y)^2 +(y-z)^2 +(z-x)^2 =8, x^3 +y^3 +z^3 =1$

  • KMO 고등 2차 2014 #6

    다음 조건을 모두 만족하는 일대일함수 $f:\{1,2,\cdots ,9\} \rightarrow \{1,2,\cdots ,9\}$의 개수를 구하여라.

    조건 1. $f(1)>f(2)$이고 $f(9)<9$이다.

    조건 2. $f(1), f(2), \cdots ,f(i-1)$이 모두 $f(i)$보다 작으면, $f(i+1)$도 $f(i)$보다 작다. (단, $i=3,4,\cdots ,8$)

  • KMO 고등 2차 2014 #5

    볼록사각형 $ABCD$에서 $\angle A=\angle D$이다. 두 대각선의 교점을 $E$라 하고 변 $AB, CD, DA$의 중점을 각각 $L,M,N$이라 하자. 점 $A$에서 직선 $AD$에 접하고 점 $E$를 지나는 원이 직선 $EN$과 점 $F(\neq E)$에서 만난다고 할 때, $\angle NFL = \angle MFN$임을 보여라.

  • KMO 고등 2차 2014 #4

    총 $n$개의 지하철역의 위치가 정$n$각형을 이루고 있는 도시가 있다. 지하철 1호선은 이 정$n$각형에서 이웃하지 않은 두 지하철역 $A$와 $B$만을 직선으로 연결한 노선이다. 지하철 2호선은 정$n$각형 형태로 이 도시의 지하철역을 모두 지나는 순환형 노선이다. 지하철은 각 노선에서 양방향으로 모두 운행되며, $A$와 $B$는 다른 노선으로 갈아탈 수 있는 역이다. 지하철 각 노선에서 이웃한 두 지하철역 사이를 하나의 지하철 구간이라 하자. 각 지하철역의 역장은 1명이며 여자가 역장인 지하철역도 있고 남자가 역장인 지하철역도 있다고 하자. 이 때 $n$이 홀수이면, 모든 정수 $k(0<k<n)$에 대하여, 정확히 $k$개의 지하철 구간을 이용하여 남자가 역장인 어느 지하철역에서 여자가 역장인 지하철역으로 같은 역을 두 번 들르지 않고 이동할 수 있음을 보여라.

  • KMO 고등 2차 2014 #3

    원 $O$의 지름이 아닌 현 $AB$가 있다. 점 $A$와 $B$에서의 원 $O$의 접선의 교점을 $C$라 하고 선분 $AC$와 $BC$의 중점을 각각 $M,N$이라 하자. 점 $C$를 지나고 원 $O$와 외접하는 원이 직선 $MN$과 두 점 $P,Q$에서 만날 때, $\angle PCQ= \angle CAB$임을 보여라.

  • KMO 고등 2차 2014 #2

    다음 조건을 만족하는 함수 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$을 모두 구하여라. 단, $\mathbb{R}$은 실수 전체의 집합이다.

    모든 실수 $x,y$에 대하여 $f(xf(x)+f(x)f(y)+y-1)=f(xf(x)+xy)+y-1$이다.

  • KMO 고등 2차 2014 #1

    정수 $x,y$에 대하여 $x^2 -4y+1$이 $(x-2y)(1-2y)$의 배수일 때, $|x-2y|$가 완전제곱수임을 보여라.

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