• KMO 고등 2차 2013 #8

    양의 정수 $a,b,c,d$에 대하여, 평면 위에 $a+b+c+d$개의 점으로 이루어진 집합 $X$가 있다. $X$의 어떠한 세 점도 한 직선 위에 있지 않다면 다음 조건을 모두 만족하는 두 직선 $l_1 , l_2$가 존재함을 보여라.

    조건 1. 두 직선 $l_1 ,l_2$는 서로 평행하지 않다.

    조건 2. 두 직선 $l_1 ,l_2$는 집합 $X$의 어느 점도 지나지 않는다.

    조건 3. 두 직선 $l_1$과 $l_2$로 평면을 나누었을 때 만들어지는 네 영역이 $X$의 원소를 각각 $a,b,c,d$개 포함한다.

  • KMO 고등 2차 2013 #7

    양의 정수 $k$에 대하여, 정수로 이루어진 수열 $\{b_n \}$과 $\{c_n \}$이 다음과 같이 주어진다.

    $b_1 =1, b_{2n}=kb_{2n-1}+(k-1)c_{2n-1}, b_{2n+1}=b_{2n}+(k-1)c_{2n},$

    $c_1=1, c_{2n}=b_{2n-1}+c_{2n-1}, c_{2n+1}=b_{2n}+kc_{2n} (n\ge 1)$

    양의 정수 $k$에 대하여 얻어진 $b_{2014}$를 $a_k$라 할 때

    $\sum_{k=1}^{100} \left( a_k -\sqrt{a_k ^2 -1} \right) ^{\frac{1}{2014}}$

    를 구하여라.

  • KMO 고등 2차 2013 #6

    외심이 $O$인 삼각형 $ABC$의 변 $BC$ 위에 점 $P$에 대하여, $P$를 지나고 $B$에서 $AB$에 접하는 원과 $P$를 지나고 $C$에서 $AC$에 접하는 원이 점 $Q(\neq P)$에서 만난다. $Q$에서 직선 $AB$와 $AC$에 내린 수선의 발을 각각 $D$와 $E$라고 할 때, $DE$와 $BC$의 교점을 $R$이라 하자. 세 점 $O,P,Q$가 한 직선 위에 있으면 세 점 $A,R,Q$도 한 직선 위에 있음을 보여라.

  • KMO 고등 2차 2013 #5

    다음 조건을 만족하는 함수 $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$를 모두 구하여라.

    임의의 양의 정수 $m,n$에 대하여 $f(mn)=lcm(m,n)\cdot \gcd(f(m),f(n))$이다.

    (단, $\mathbb{N}$은 양의 정수 전체의 집합이고, $lcm(m,n)$과 $\gcd(m,n)$은 각각 $m,n$의 최소공배수와 최대공약수이다.)

  • KMO 고등 2차 2013 #4

    양의 정수로 이루어진 수열 $\{ a_i \}$가 점화식 $a_{i+2} =a_{i+1} +a_i (i\ge 1)$을 만족할 때, 양의 정수 $n$에 대하여

    $b_n =\frac{1}{a_{2n+1}} \sum_{i=1}^{4n-2}a_i $

    라 하자. 수열 $\{ b_n \} $의 모든 항이 양의 정수임을 보이고, 이 수열의 일반항을 구하여라.

  • KMO 고등 2차 2013 #3

    최고차항의 계수가 1인 정수계수 6차 다항식 중 다음 조건을 모두 만족하는 다항식 $f(x)$가 존재함을 보여라.

    조건 1. 모든 정수 $m$에 대하여, $f(m) \neq 0$이다.

    조건 2. 홀수인 양의 정수 $n$이 주어졌을 때, $f(k)$가 $n$의 배수가 되는 양의 정수 $k$가 존재한다.

  • KMO 고등 2차 2013 #2

    식 $ab+bc+ca=3$을 만족하는 양의 실수 $a,b,c$에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보여라.

    $\frac{(a+b)^3}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^2 +b^2 )}}+\frac{(b+c)^3}{\sqrt[3]{2(b+c)(b^2 +c^2 )}}+\frac{(c+a)^3}{\sqrt[3]{2(c+a)(c^2 +a^2 )}} \ge 12$

  • KMO 고등 2차 2013 #1

    삼각형 $ABC$에서 변 $BC$ 위의 점 $P$를 지나고, $AB, AC$와 평행한 직선이 $AC, AB$와 만나는 점을 각각 $Q,R$이라 하고, 삼각형 $ABC, BPR, PCQ$의 외심을 각각 $O, O_1 ,O_2$라 하자. 삼각형 $BPR$의 외접원과 삼각형 $PCQ$의 외접원이 만나는 점을 $K(\neq P)$라 할 때, $OO_1 =KO_2$임을 보여라.

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