• 2011 IMO Shortlist N6

    $P(x)$와 $Q(x)$는 정수계수 다항식이며 서로소이다임의의 양의 정수 $n$에 대해, $P(n)$과 $Q(n)$은 양의 정수이고, $2^{Q(n)}-1|3^{P(n)}-1$을 만족한다. $Q(x)$가 상수함수임을 보여라

  • 2011 IMO Shortlist N8

    $k\in \mathbb{Z}^{+}$이고 $n=2^k +1$이다다음 두 조건이 동치임을 보여라..

    1. $n$이 소수이다.

    2. $1,2,\cdots ,n-1$의 적당한 순열 $a_{1},\ldots,a_{n-1}$과 정수 $g_{1},\ldots,g_{n-1}$이 존재하여 임의의 $i \in \{1,2,\ldots,n-1\}$에 대해 $n|g^{a_i}_i – a_{i+1}$을 만족시킨다.

  • 2011 IMO Shortlist N7

    $p$는 홀수인 소수이다정수 $a$에 대해, $S_a = \sum^{p-1}_{j=1} \frac{a^j}{j}$라 하자또한 정수 $m,n\in \mathbb{Z}$에 대해 $S_3 + S_4 – 3S_2 = \frac{m}{n}$이 성립한다. $p|m$임을 보여라.

  • 2011 IMO Shortlist N5

    $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N}$는 임의의 정수 $m$과 $n$에 대해 $f(m-n)|f(m)-f(n)$을 만족한다. $f(m) \le f(n)$을 만족하는 정수 $m,n$에 대해 $f(m)|f(n)$이 성립함을 보여라.

  • 2011 IMO Shortlist N4

    양의 정수 $K$에 대해, $t(k)$는 $k$의 홀수인 약수 중 가장 큰 것으로 정의된다양의 정수 $n$이 존재하여

    $t(n+a)-t(n), t(n+a+1)-t(n+1), \ldots, t(n+2a-1)-t(n+a-1)$이 모두 $4$의 배수가 되게 하는 양의 정수 $n$을 모두 찾아라.

  • 2011 IMO Shortlist N3

    $n$은 홀수이다. $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$는 임의의 정수 $x$와 $y$에 대해 $f(x)-f(y) | x^n -y^n $을 만족한다. $f$를 모두 찾아라.

  • 2011 IMO Shortlist N2

    다항식 $P(x)=\prod_{j=1}^{9}(x+d_j)$로 주어져 있고, $d_1 ,d_2 ,\cdots ,d_9$는 서로 다른 정수이다자연수 $N$이 존재하여 모든 $x \ge N$에 대해 $P(x)$의 소인수 중 $20$보다 큰 것이 존재함을 보여라.

  • 2011 IMO Shortlist N1

     자연수 $d$에 대해, $f(d)$를 정확히 $d$개의 양의 약수를 갖는 최소의 자연수라 정의하자음이 아닌 정수 $k$에 대해 $f(2^k ) |f(2^{k+1})$임을 보여라.

  • 2011 IMO Shortlist G8

    삼각형 $ABC$는 예각삼각형이며외접원은 $\Gamma$이다. $l$을 $\Gamma$에 접하는 직선이라 하고, $l_a, l_b, l_c$를 $l$을 각각 $BC, CA, AB$에 대칭시킨 직선이라 하자. $l_a, l_b, l_c $로 이루어진 삼각형의 외접원이 $\Gamma$에 접함을 보여라.

  • 2011 IMO Shortlist G7

    볼록육각형 $ABCDEF$의 각 변이 중심이 $O$인 원 $\omega$에 접하고 있다이 때삼각형 $ACE$의 외접원의 중심이 $O$이다. $J$를 $B$에서 $CD$에 내린 수선의 발이라 하자. $B$에서 $DF$에 내린 수선과 $EO$의 교점을 $K$라 하자. $K$에서 $DE$에 내린 수선의 발은 $L$이다. $DJ=DL$임을 보여라.

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