• 2016 FKMO #6

    삼각형 $m$개의 집합을 $U$라 하자. 이 때, 아래 두 조건을 동시에 만족하는 $U$의 부분집합 $W$가 반드시 존재함을 보여라.

    조건 1: $W$에 속한 삼각형의 개수는 $0.45m^{\frac{4}{5}}$ 이상이다.

    조건 2: $6$개의 삼각형 $ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB$가 모두 $W$에 속하게 되는 서로 다른 $6$개의 점 $A,B,C,D,E,F$는 없다.

  • 2016 FKMO #5

    내심이 $I$인 예각삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $BC$, $CA$, $AB$와 각각 점 $D,E,F$에서 접한다. 직선 $BI$, $CI$, $BC$, $DI$가 직선 $EF$와 각각 점 $K, L, M,Q$에서 만나고 선분 $CL$의 중점과 점 $M$을 지나는 직선이 선분 $CK$와 점 $P$에서 만날 때,

    $PQ=\frac{AB\cdot KQ}{BI}$

    임을 보여라.

  • 2016 FKMO #4

    실수 $x,y,z$가 $x^2 +y^2 +z^2 =1$을 만족할 때,

    $(x^2 -yz)(y^2 -zx)(z^2 -xy)$

    의 최댓값을 구하여라.

  • 2016 FKMO #3

    어떤 두 유리수 $x,y$도 $x-\frac{1}{x}+y-\frac{1}{y}=4$를 만족하지 않음을 보여라.

  • 2016 FKMO #2

    두 정수 $n, k$가 $n\ge 2$와 $k\ge \frac{5}{2}n -1$을 만족한다. 좌표평면에서 $x$좌표, $y$좌표가 모두 $1$ 이상 $n$ 이하의 정수가 되는 서로 다른 $k$개의 점을 어떻게 선택하더라도, 이 중 네 개 이상의 점을 지나는 원이 존재함을 보여라.

  • 2016 FKMO #1

    예각삼각형 $ABC$의 꼭짓점 $B$와 $C$에서 대변에 내린 수선의 발을 각각 $D$와 $E$라고 하고, 변 $AC$와 $BC$에 대한 점 $E$의 대칭점을 각각 $S$와 $T$라 하자. 삼각형 $CST$의 외접원이 직선 $AC$와 점 $X(\neq C)$에서 만난다. 삼각형 $CST$의 외심을 $O$라 할 때, 직선 $XO$와 $DE$는 서로 수직임을 보여라.

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