• 2015 FKMO #6

    반지름은 $1$이고 중심이 서로 다른 원 $2015$개가 평면에 있다. 이 중 $27$개의 원을 뽑아 다음 조건을 만족하는 모임 $C$를 만들 수 있음을 보여라.

    $C$의 임의의 두 원은 서로 만나거나 $C$의 어떤 두 원도 서로 만나지 않는다.

  • 2015 FKMO #5

    주어진 양의 정수 $k$에 대하여 다음 조건을 만족하는 두 수열 $\{ a_n \}$과 $\{ b_n \} $이 있다.

    $a_1 =k$, $a_2 =k$, $a_{n+2}=a_n a_{n+1}$ ($n\ge 1$)

    $b_1 =1$, $b_2 =k$, $b_{n+2}=\frac{b^3_{n+1}+1}{b_n}$ ($n \ge 1$)

    모든 양의 정수 $n$에 대하여  $a_{2n}b_{n+3}$은 정수임을 보여라.

  • 2015 FKMO #4

    예각삼각형 $ABC$의 수심 $H$와 꼭짓점 $A,B$를 모두 지나는 원 $\omega$가 변 $BC$와 점 $D(\neq B)$에서 만난다고 하자. 직선 $DH$와 변 $AC$의 교점을 $P$라 하고, 삼각형 $ADP$의 외심을 $Q$라 할 때, 원 $\omega$의 중심이 삼각형 $BDQ$의 외접원 위에 있음을 보여라.

  • 2015 FKMO #3

    지하철역이 $3$개 이상인 도시가 있다. 이 도시에서 같은 지하철역을 두 번 이상 지나지 않고도 총 $L+1$ 개 이상의 지하철역을 지나는 경로가 있다면 다음 중 하나는 반드시 성립함을 보여라. (단, 지하철역은 양방향으로 모두 운행한다.)

    (i) 서로 다른 세 개의 지하철역 $A,B,C$가 존재하여 $C$를 지나지 않고 $A$에서 $B$로 가는 경로가 없다.

    (ii) 적당한 지하철역에서 출발하여 같은 지하철역을 두 번 이상 지나지 않고 출발했던 지하철역으로 되돌아오는 방법 중 지하철역 $\left \lceil \sqrt{2L}\right \rceil$개 이상을 지나는 방법이 있다. 단,  $\lceil x \rceil$는 $x$보다 작지 않은 정수 중 가장 작은 것이다.

  • 2015 FKMO #2

    내심이 $I$인 삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $BC, CA, AB$와 각각 점 $D,E,F$에서 접한다. 삼각형 $IAB, IAC$의 외심을 각각 $O_1 ,O_2$라 하고, 삼각형 $ABC$의 외접원과 직선 $EF$의 두 교점을 $P, Q$라 하자. 삼각형 $DPQ$의 외심이 직선 $O_1 O_2$ 위에 있음을 보여라.

  • 2015 FKMO #1

    다음을 만족하는 함수 $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$을 모두 구하여라. (단, $\mathbb{R}$은 실수 전체의 집합)

    모든 실수 $x,y$에 대하여 $f(x^{2015} +f(y)^{2015})=f(x)^{2015}+y^{2015}$이다.

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