• 2013 FKMO #6

    임의의 일대일대응 $f:\{1,2,\cdots , n\} \rightarrow \{ 1,2,\cdots ,n \}$ ($n$은 양의 정수)에 대하여, 네 집합 $A,B,C,D$를 다음과 같이 정의하자.

    $A=\{i | i>f(i)\}$

    $B=\{ (i,j)|i<j\le f(j)<f(i) $ 또는 $f(j)<f(i)<i<j\}$

    $C=\{ (i,j)|i<j\le f(i)<f(j)$ 또는 $f(i)<f(j)<i<j\} $

    $D=\{ (i,j) |i<j$ 그리고 $f(i)>f(j)\}$

    다음 등식이 성립함을 보여라. (단, $|X|$의 집합 $X$의 원소의 개수이다.)

    $|A|+2|B|+|C|=|D|$

  • 2013 FKMO #5

    서로소인 양의 정수 $a,b$가 주어져 있다. 정수 수열 $(a_n )$과 $(b_n)$은

    $(a+b\sqrt{2})^{2n} =a_n +b_n \sqrt{2}$

    를 만족하는 수열이라고 하자. 다음 조건을 만족하는 소수 $p$를 모두 구하여라.

    조건: 정수 $b_n $이 $p$의 배수가 되는 $p$ 이하의 양의 정수 $n$이 존재한다.

  • 2013 FKMO #4

    삼각형 $ABC$의 꼭짓점 $B,C$에 마주 보는 방심을 각각 $B_1 ,C_1$이라 하자. 직선 $B_1 C_1$이 삼각형 $ABC$의 외접원과 $D(\neq A)$에서 만난다고 하자. $B_1$에서 $CA$에 내린 수선과 $C_1$에서 $AB$에 내린 수선의 교점을 $E$라 하자. 삼각형 $ADE$의 외접원 $\omega$의 점 $D$에서의 접선과 직선 $AE$가 점 $F$에서 만난다고 하자. $D$에서 $AE$에 내린 수선의 발을 $G$, 이 수선이 $\omega$와 만나는 점을 $H(\neq D)$라 하자. 삼각형 $HGF$의 외접원과 $\omega$의 교점을 $I(\neq H)$라 하고, $D$에서 직선 $AH$에 내린 수선의 발을 $J$라 할 때, $AI$가 선분 $DJ$의 중점을 지남을 보여라.

  • 2013 FKMO #3

    양의 정수 $n(\ge 2)$에 대하여, $1\le i<j \le n$이고, $i$가 $j$의 약수인 모든 정수의 순서쌍 $(i,j)$들의 집합을 $T$라 하자. 음 아닌 실수 $x_1 ,x_2 ,\cdots ,x_n $이 $x_1 +x_2 +\cdots +x_n =1$을 만족할 때, 다음 식의 최댓값을 $n$에 대한 함수로 나타내어라.

    $\sum_{(i,j)\in T}x_i x_j$

  • 2013 FKMO #2

    다음 두 조건을 만족하는 함수 $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$을 모두 구하여라.

    조건 1: 임의의 실수 $x$에 대하여 $f(x)\ge 0$이다.

    조건 2: 식 $ab+bc+cd=0$을 만족하는 실수 $a,b,c,d$에 대하여 다음 등식을 성립한다.

    $f(a-b)+f(c-d)=f(a)+f(b+c)+f(d)$

  • 2013 FKMO #1

    삼각형 $ABC$가 $\angle B>\angle C$를 만족하고, 변 $AC$ 위의 점 $D$는 $\angle ABD = \angle C$를 만족한다. 삼각형 $ABC$의 내심을 $I$라고 할 때, 삼각형 $CDI$의 외접원과 직선 $AI$의 교점 $E(\neq I)$를 지나고 $AB$에 평행한 직선이 직선 $BD$와 만나는 점을 $P$라 하자. 삼각형 $ABD$의 내심을 $J$, $A$의 $I$에 대한 대칭점을 $A’$이라 하고, 직선 $JP$와 직선 $A’C$가 점 $Q$에서 만날 때, $QJ=QA’$임을 보여라.

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