• 2012 FKMO #6

    $3$보다 큰 소수를 약수로 갖지 않는 양의 정수의 집합을 $M$이라 하자. 집합 $M$의 임의의 부분집합들 $A_1 ,A_2 ,A_3 ,\cdots $에 대해, 다음 조건을 만족하는 서로 다른 양의 정수 $i$와 $j$가 반드시 존재함을 증명하여라.

    집합 $A_i$의 각 원소 $x$에 대하여 집합 $A_j$는 $x$의 어떤 약수를 갖는다.

  • 2012 FKMO #5

    주어진 양의 정수 $n$에 대하여, $nx^2 +y^3 =z^4 $을 만족하는 정수 $x,y,z$ 중 어떤 두 수도 서로소인 해 $(x,y,z)$가 무한히 많이 존재함을 보여라.

  • 2012 FKMO #4

    예각삼각형 $ABC$에 대하여 $A$에서 $BC$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. $D,E$는 각각 변 $AB, AC$ 내부에 있는 점으로서, $D$와 $E$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발을 각각 $F$와 $G$라 할 때, 두 선분 $DG$와 $EF$의 교점이 선분 $AH$ 위에 있다 하자. 점 $E$에서 직선 $DH$에 내린 수선의 발을 $P$라 할 때, $\angle APE = \angle CPE$임을 보여라.

  • 2012 FKMO #3

    $n$개의 집합 $A_1 , A_2 ,\cdots ,A_n$이 주어져 있다. 집합 $\{1,2,\cdots ,n \} $의 부부집합 $X$에 대해

    $N(X)=\{ i\in \{ 1,2,\cdots ,n \}-X : $ 모든 $j\in X$에 대해 $A_i \cap A_j \neq \emptyset \} $

    이라 하자. 이 때 $m$이 $3\le m \le n-2$인 정수이면, $|X|=m$이고 $|N(X)|\neq 1$인 $\{ 1,2,\cdots ,n\}$의 부분집합 $X$가 반드시 존재함을 증명하여라.

  • 2012 FKMO #2

    각 $B$가 직각이 아니고 $AB\neq AC$인 삼각형 $ABC$의 내심 $I$에서 변 $BC, CA, AB$에 내린 수선의 발을 각각 $D,E,F$라 하자. 직선 $AB$와 $DI$의 교점을 $S$, 직선 $DF$에 수직이고 $F$를 지나는 직선이 직선 $DE$와 만나는 점을 $T$, 직선 $ST$가 직선 $EF$와 만나는 점을 $R$이라 하자. 이 때, 선분 $IR$을 지름으로 하는 원이 삼각형 $ABC$의 내접원과 만나는 두 점 중 직선 $IR$에 대해 $A$와 다른 쪽에 있는 점을 $P_{ABC}$라 하자. $XZ=YZ>XY$인 이등변삼각형 $XYZ$의 변 $YZ$ 위에 $WY<XY$인 점 $W$가 있다. $K=P_{YXW}, L=P_{ZXW}$라 할 때, $2KL\le XY$임을 보여라.

  • 2012 FKMO #1

    임의의 양의 실수 $x,y,z$에 대해 다음 부등식이 성립함을 보여라.

    $\frac{2x^2 +xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^2}+\frac{2y^2 +yz}{(z+\sqrt{xy}+x)^2}+\frac{2z^2 +zx}{(x+\sqrt{yz}+y)^2}\ge 1$

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