• 2012 FKMO #6

    $3$보다 큰 소수를 약수로 갖지 않는 양의 정수의 집합을 $M$이라 하자. 집합 $M$의 임의의 부분집합들 $A_1 ,A_2 ,A_3 ,\cdots $에 대해, 다음 조건을 만족하는 서로 다른 양의 정수 $i$와 $j$가 반드시 존재함을 증명하여라.

    집합 $A_i$의 각 원소 $x$에 대하여 집합 $A_j$는 $x$의 어떤 약수를 갖는다.

  • 2017 FKMO #6

    총 $2017$개의 상자가 원형으로 놓여 있는 방이 있다. 어떤 상자의 집합이 어울린다라는 말은 그 집합에 속한 상자의 수가 $2$개 이상이며 그 집합에 속한 각 상자에서 시계 방향으로 이동할 때 그 집합에 속한 다음 상자를 처음으로 만날 때까지 넘어야 하는 상자의 개수가 $0$ 또는 홀수임을 뜻한다. $30$명의 학생이 차례로 그 방에 입장하며 자기가 고른 상자들의 집합이 어울리도록 여러 상자를 고른 후, 고른 상자마다 자기 이름이 적힌 쪽지를 하나씩 넣는다. 들어 있는 쪽지의 개수가 $30$개인 상자 전체의 집합이 어울리지 않는 경우 다음 두 성질을 모두 만족하는 학생 $A,B$와 상자 $a,b$가 존재함을 보여라.

    (i) $A$는 $a$를 고르고 $b$를 고르지 않았으며 $B$는 $b$를 고르고 $a$를 고르지 않았다.

    (ii) $a$에서 시계 방향으로 $b$까지 이동하는 사이에 넘게 되는 $a,b$가 아닌 상자의 개수는 홀수가 아니며, 이러한 각 상자는 $A$와 $B$ 중 누구도 고른 적이 없다.

  • 2017 FKMO #5

    원에 내접하는 사각형 $ABCD$의 두 변 $AB$와 $CD$의 중점을 각각 $L$과 $M$이라 하고, 두 대각선 $AC$와 $BD$의 교점을 $E$라 하자. 반직선 $AB$와 $DC$가 점 $F$에서 만나며, 선분 $LM$이 선분 $DE$와 점 $P$에서 만난다고 하자. 점 $P$에서 선분 $EM$에 내린 수선의 발을 $Q$라 하자. 삼각형 $FLM$의 수심이 $E$일 때, 다음 등식이 성립함을 보여라.

    $\frac{EP^2}{EQ}=\frac{1}{2}\left( \frac{BD^2}{DF} -\frac{BC^2}{CF} \right)$

  • 2017 FKMO #4

    정수 $n\ge 2$에 대하여 $a_1 ,a_2 ,\cdots ,a_n $을 다음과 같이 정의하자.

    $a_1 =\frac{n(n-1)(2n+1)}{3}$,

    $a_k=\frac{(n+k-1)(n-k+1)}{2(k-1)(2k+1)}a_{k-1} \ \ (k=2,3,\cdots ,n)$

    (a) $a_1 ,a_2 ,\cdots, a_n $은 모두 정수임을 보여라.

    (b) $a_1 ,a_2 ,\cdots, a_n $ 중 $2n-1$의 배수가 아닌 것이 하나 뿐이고, $2n+1$의 배수가 아닌 것도 하나 뿐인 것이 $2n-1$과 $2n+1$이 모두 소수일 필요충분조건임을 보여라.

  • 2017 FKMO #3

    양의 정수 $n$에 대하여 $c_n =2017^n $이라 하자. 함수 $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$이 다음 두 조건

    (i) 모든 양의 정수 $m,n$에 대하여 $f(m+n) \le 2017\cdot f(m) \cdot f(n+325)$,

    (ii) 모든 양의 정수 $n$에 대하여 $0<f(c_{n+1}) <f(c_n )^{2017}$

    을 모두 만족한다. 이 때, 다음을 만족하는 수열 $a_1 ,a_2 ,\cdots$이 존재함을 보여라.

    부등식 $a_k <n$을 만족하는 모든 양의 정수 $n,k$에 대하여 $f(n)^{c_k}<f(c_k )^n$이다.

    단, $\mathbb{N}$은 양의 정수 전체의 집합이며, $\mathbb{R}$은 실수 전체의 집합이다.

  • 2017 FKMO #2

    양의 정수 $n$에 대하여 $n+1$개의 정수로 이루어진 순서쌍 $(a_0 ,a_1 ,\cdots ,a_n )$이 있다. 모든 $k=0,1,\cdots ,n$에 대하여, $(a_0 ,a_1 ,\cdots ,a_n )$에서의 $k$의 개수를 $b_k$라 하고, $(b_0 ,b_1 ,\cdots ,b_n)$에서의 $k$의 개수를 $c_k$라고 하자. 이 때 $a_0 =c_0 ,a_1 =c_1 , \cdots ,a_n =c_n $이 되는 순서쌍 $(a_0 ,a_1 ,\cdots ,a_n )$을 모두 구하여라.

  • 2017 FKMO #1

    예각삼각형 $ABC$의 외심을 $O$라 하자. 삼각형 $OAB$의 외접원 $O_1$과 삼각형 $OAC$의 외접원 $O_2$가 변 $BC$와 각각 점 $D(\neq B)$와 $E(\neq C)$에서 만나고, 변 $BC$의 수직이등분선이 변 $AC$와 점 $F(\neq A)$에서 만난다고 하자. 삼각형 $ADE$의 외심이 직선 $AC$ 위에 놓이는 것이 $O_1$과 $O_2$의 중심을 지나는 직선 위에 점 $F$가 있을 필요충분조건임을 보여라.

  • 2011 FKMO #6

    가로로 $m$칸, 세로로 $n$칸, 총 $mn$칸이 있는 직사각형 모양의 바둑판을 생각하자. 바둑판의 각 칸에 정수를 하나씩 써넣는다. 하나 이상의 칸으로 이루어진 직사각형 $R$에 대하여 다음 두 조건을 만족하는 정수 $h$가 존재하면, $R$을 ‘선반’이라 하자. (단, 직사각형 $R$의 내부에 빠진 칸은 없다.)

    조건 1: 직사각형 $R$에 속한 모든 칸에 적힌 수는 $h$보다 크다.

    조건 2: 직사각형 $R$의 외부의 칸 중에서, $R$에 속한 칸과 꼭지점이나 변을 공유하는 모든 칸에 적힌 수는 $h$ 이하이다.

    선반의 개수가 최대가 되도록 정수를 써넣는다면, 그때 선반의 개수는 모두 몇 개인가?

  • 2011 FKMO #5

    조건 $AC<AB<BC$를 만족하는 삼각형 $ABC$에 대하여 $AC=AD$가 되는 변 $AB$ 위의 점을 $D$라 하자. 삼각형 $ABC$의 외접원이 각 $A$의 이등분선과 만나는 점을 $E(\neq A)$라 하고, 삼각형 $ABC$의 외접원이 $CD$와 만나는 점을 $F(\neq C)$라 하자. $BC$와 $DE$의 교점을 $K$라 할 때, $DK\cdot EF=AC \cdot DF$일 필요충분조건은 $CK=AC$임을 보여라.

  • 2011 FKMO #4

    음이 아닌 실수 $a,b,c$가 $a+b+c=1$을 만족할 때,

    $\frac{1}{a^2 -4a+9} +\frac{1}{b^2 -4b+9} +\frac{1}{c^2 -4c+9}$

    의 최댓값을 구하여라.

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