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  • 2016 IMO Shortlist C2

    자신의 양의 약수들을 다음 규칙에 따라 직사각형 격자에 넣을 수 있는 자연수 $n$을 모두 구하여라.

    규칙 1: 각 칸에는 서로 다른 양의 약수들이 정확히 $1$개씩 들어간다.

    규칙 2: 각 행에 쓰여 있는 숫자의 총합이 모두 같다.

    규칙 3: 각 열에 쓰여 있는 숫자의 총합이 모두 같다.

  • 2016 IMO Shortlist C1

    교수님은 $n>k$를 만족하는 자연수 $n$, $k$를 고른 다음 조교와 과대표에게 알려주었다. 또 교수님은 조교에게만 $n$자리 이진수열을 알려주는데, 조교는 그것을 듣고 교수님의 이진수열과 정확히 $k$자리가 다른 이진수열을 모두 칠판에 쓴다. (예를 들어 $n=3$이고 $k=1$일 때 교수님이 $101$을 택했다면 조교는 칠판에 $001, 111, 100$을 쓰게 된다.) 과대표는 조교가 칠판에 써 놓은 수열들을 보고 원래 교수님의 이진수열을 예측한다. 옳은 답을 찾기 위하여 필요한 최소의 예측 횟수를 $n$과 $k$로 나타내어라.

  • 2016 IMO Shortlist A8

    임의의 자연수 $n$과 $0 = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n$를 만족하는 임의의 실수 $x_1,x_2, \cdots ,x_n $에 대하여 

    $ \frac{1}{x_1-x_0} + \frac{1}{x_2-x_1} + \dots + \frac{1}{x_n-x_{n-1}} \geq a \left( \frac{2}{x_1} + \frac{3}{x_2} + \dots + \frac{n+1}{x_n} \right) $

    가 성립하는 최대의 $a$를 구하여라.

  • 2016 IMO Shortlist A7

    모든 실수 $x,y$에 대하여 다음 식을 만족하고 $f(0)\neq 0$인 함수 $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$을 모두 구하여라.

    $f(x+y)^2 = 2f(x)f(y) + \max \left\{ f(x^2+y^2), f(x^2)+f(y^2) \right\}$

  • 2016 IMO Shortlist A6

    방정식

    $(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots (x-2016)$

    이 칠판에 쓰여 있다. 즉, 각 변에는 $2016$개씩의 일차 인수가 있다. 이 때 다음 조건을 만족하는 자연수 $k$의 최솟값을 구하여라.

    조건: $4032$개의 일차 인수 중 어떤 $k$개를 지우되 각 변에 적어도 한 개의 일차 인수는 남게 하여 방정식의 실근이 존재하지 않게 할 수 있다.

  • 2016 IMO Shortlist A5

    $a$와 $b$가 양의 정수일 때 분수 $\frac{a}{b}$를 생각하자.

    (1) 임의의 자연수 $n$에 대하여, 분수 $\frac{a}{b}$가 존재하여 $\sqrt{n} \le \frac{a}{b} \le \sqrt{n+1}$와 $b \le \sqrt{n}+1$를 만족함을 보여라.

    (2) $\sqrt{n} \le \frac{a}{b} \le \sqrt{n+1}$와 $b \le \sqrt{n}$를 만족하는 분수 $\frac{a}{b}$가 존재하지 않는 자연수 $n$이 무한히 많음을 보여라.

  • 2016 IMO Shortlist A4

     임의의 실수 $x,y\in(0,\infty )$에 대해 다음 식을 만족하는 함수 $f:(0,\infty )\rightarrow (0,\infty )$를 모두 찾아라.

    $xf(x^2)f(f(y)) + f(yf(x)) = f(xy) \left(f(f(x^2)) + f(f(y^2))\right)$

  • 2016 IMO Shortlist A3

    다음 조건을 만족하는 자연수 $n$를 모두 찾아라.

    조건: 모든 $k=1,2,\cdots ,n$에 대하여 $\left| a_k \right| +\left| b_k \right| =1 $을 만족하는 임의의 실수 $a_1,\cdots ,a_n, b_1, \cdots , b_n $에 대하여

    $\varepsilon_1 ,\varepsilon_2 ,\cdots ,\varepsilon_n \in \{ -1,1\} $이 존재하여 

    $ \left| \sum_{i=1}^n \varepsilon_i a_i \right| + \left| \sum_{i=1}^n \varepsilon_i b_i \right| \le 1 $

    이 성립한다.

  • 2016 IMO Shortlist A2

    다음 조건을 만족하는 상수 $C>0$의 최솟값을 구하여라.

    조건: 임의의 다섯 개의 양의 실수 $a_1 ,a_2 ,a_3 ,a_4 ,a_5$(서로 다를 필요는 없음)에 대하여 서로 다른 $i,j,k,l$이 존재하여 다음 식을 만족한다.

    $ \left| \frac{a_i}{a_j} – \frac {a_k}{a_l} \right| \le C $

  • 2016 IMO Shortlist A1

    $a,b,c$가 $\min(ab, bc, ca)\ge 1$을 만족하는 양의 실수일 때 다음 부등식을 증명하여라.

    $\sqrt[3]{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)} \le \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2 + 1$