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  • KMO 고등 2차 2014 #6

    다음 조건을 모두 만족하는 일대일함수 $f:\{1,2,\cdots ,9\} \rightarrow \{1,2,\cdots ,9\}$의 개수를 구하여라.

    조건 1. $f(1)>f(2)$이고 $f(9)<9$이다.

    조건 2. $f(1), f(2), \cdots ,f(i-1)$이 모두 $f(i)$보다 작으면, $f(i+1)$도 $f(i)$보다 작다. (단, $i=3,4,\cdots ,8$)

  • KMO 고등 2차 2014 #5

    볼록사각형 $ABCD$에서 $\angle A=\angle D$이다. 두 대각선의 교점을 $E$라 하고 변 $AB, CD, DA$의 중점을 각각 $L,M,N$이라 하자. 점 $A$에서 직선 $AD$에 접하고 점 $E$를 지나는 원이 직선 $EN$과 점 $F(\neq E)$에서 만난다고 할 때, $\angle NFL = \angle MFN$임을 보여라.

  • KMO 고등 2차 2014 #4

    총 $n$개의 지하철역의 위치가 정$n$각형을 이루고 있는 도시가 있다. 지하철 1호선은 이 정$n$각형에서 이웃하지 않은 두 지하철역 $A$와 $B$만을 직선으로 연결한 노선이다. 지하철 2호선은 정$n$각형 형태로 이 도시의 지하철역을 모두 지나는 순환형 노선이다. 지하철은 각 노선에서 양방향으로 모두 운행되며, $A$와 $B$는 다른 노선으로 갈아탈 수 있는 역이다. 지하철 각 노선에서 이웃한 두 지하철역 사이를 하나의 지하철 구간이라 하자. 각 지하철역의 역장은 1명이며 여자가 역장인 지하철역도 있고 남자가 역장인 지하철역도 있다고 하자. 이 때 $n$이 홀수이면, 모든 정수 $k(0<k<n)$에 대하여, 정확히 $k$개의 지하철 구간을 이용하여 남자가 역장인 어느 지하철역에서 여자가 역장인 지하철역으로 같은 역을 두 번 들르지 않고 이동할 수 있음을 보여라.

  • KMO 고등 2차 2014 #3

    원 $O$의 지름이 아닌 현 $AB$가 있다. 점 $A$와 $B$에서의 원 $O$의 접선의 교점을 $C$라 하고 선분 $AC$와 $BC$의 중점을 각각 $M,N$이라 하자. 점 $C$를 지나고 원 $O$와 외접하는 원이 직선 $MN$과 두 점 $P,Q$에서 만날 때, $\angle PCQ= \angle CAB$임을 보여라.

  • KMO 고등 2차 2014 #2

    다음 조건을 만족하는 함수 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$을 모두 구하여라. 단, $\mathbb{R}$은 실수 전체의 집합이다.

    모든 실수 $x,y$에 대하여 $f(xf(x)+f(x)f(y)+y-1)=f(xf(x)+xy)+y-1$이다.

  • KMO 고등 2차 2014 #1

    정수 $x,y$에 대하여 $x^2 -4y+1$이 $(x-2y)(1-2y)$의 배수일 때, $|x-2y|$가 완전제곱수임을 보여라.

  • KMO 고등 2차 2015 #8

    양의 정수 $n$에 대하여, $a_1 ,a_2 ,\cdots ,a_k$는 $n$ 이하의 양의 정수 중 $n$과 서로소인 수를 모두 한 번씩 나열한 것이다. $k>8$일 때, 다음을 보여라.

    $\sum_{i=1}^k \left| a_i -\frac{n}{2} \right| <\frac{n(k-4)}{2}$

  • KMO 고등 2차 2015 #7

    양의 정수 $n$이 주어져 있다. 다음 두 조건을 모두 만족하는 $m$개의 집합 $F_1 ,F_2 ,\cdots ,F_m$이 존재하면 $m\le n$임을 보여라. (단, 집합 $A,B$에 대하여 $|A|$는 $A$의 원소의 개수이고, $A-B$는 $A$의 원소 중 $B$의 원소가 아닌 것의 집합이다. 실수 $x,y$에 대하여 $\min(x,y)$는 $x$와 $y$ 중 크지 않은 값이다.)

    조건 1: 모든 $1 \le i \le m$에 대하여 $F_i \subseteq \{1,2,\cdots ,n \}$

    조건 2: 모든 $1 \le i<j \le m$에 대하여 $\min(|F_i -F_j |, |F_j -F_i |)=1$

  • KMO 고등 2차 2015 #6

    원 $\omega$에 내접하는 등변사다리꼴 $ABCD$가 $AB=CD$, $AD<BC$, $AD<CD$를 만족한다. 중심이 $D$이고 점 $A$를 지나는 원이 선분 $BD$, 선분 $CD$, 원 $\omega$와 각각 점 $E$, 점$F$, 점$P(\neq A)$에서 만난다고 하자. 직선 $AP$와 직선 $EF$의 교점을 $Q$라 하고, 원 $\omega$가 직선 $CQ$, 삼각형 $BEQ$의 외접원과 만나는 점을 각각 $R(\neq C)$, $S(\neq B)$라 하자. $\angle BER = \angle FSC$임을 보여라.

  • KMO 고등 2차 2015 #5

    모든 실수 $x,y,z$에 대하여 다음 식을 만족하는 함수 $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$을 모두 구하여라.  (단, $\mathbb{R}$은 실수 전체의 집합)

    $(f(x)+1)(f(y)+f(z))=f(xy+z)+f(xz-y)$